Geralmente, para resolver uma equação diferencial da forma !$ ay"+by'+cy= !$ 0, em que a, b, c são constantes reais, busca-se uma solução da forma !$ y=e^{rx} !$. Com isso, obtém-se a equação característica !$ ar^2+br+c= !$ 0. Quando tal equação possui duas raízes reais distintas !$ r_1 !$ e !$ r_2 !$, a solução geral é da forma y=!$ C_1e^{r1x} !$+!$ C_2e^{r2x} !$.

Não é o caso da equação diferencial ordinária (EDO) !$ y"-8y'+16y= !$0, posto que a equação característica possui uma raiz dupla !$ r_1 !$ = !$ r_2 !$ = 4. Para resolvê-la, emprega-se o chamado método de redução de ordem, escolhendo !$ y !$ na forma !$ y=g(x).e^{4x} !$.

Seja !$ φ !$: !$ \mathbb{R} !$ → !$ \mathbb{R} !$ a solução de !$ y"-8y'+16y= !$ 0 que satisfaz as condições !$ φ !$(0) = 3, !$ φ !$’(0) = 5.

Dessa forma, é correto afirmar que

É fato conhecido em análise o seguinte: dadas três sequências de números reais !$ (a_n),(b_n)\,e\,(c_n) !$ tais que !$ a_n\le\,b_n\le\,c_n !$ e !$ \lim\\{n \rightarrow \infty} !$ !$ a_n !$ = !$ \lim\\{n \rightarrow \infty} !$ !$ c_n= !$ !$ L !$ , então conclui-se que !$ \lim\\{n \rightarrow \infty} !$ !$ b_n !$ = !$ L !$. Tal fato tem relação com o famoso teorema do confronto, mais conhecido como teorema do sanduíche.

É fato conhecido, também, e fácil de demonstrar que !$ \lim\\{n \rightarrow \infty} !$ !$ \sqrt[n]{a} !$ = 1, em que !$ a !$ é qualquer constante real positiva.

É correto afirmar que o valor do limite !$ L=\lim\\{n \rightarrow \infty}\,\sqrt[n]{3^n+4^n+12^n} !$ é igual a

Seja a sequência !$ (a_n) !$ definida recursivamente por !$ a_1=\sqrt{2} !$ e !$ a_{n+1} !$ = !$ \sqrt{2+a_n,}n !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{N} !$. Seja ainda a sequência !$ (b_n) !$ cuja expressão é !$ b_n=\sqrt[n]{n!,}n !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{N} !$ = {1, 2, 3, 4, … }. É correto afirmar que

Considere o conjunto !$ M_2(\mathbb{R}) !$=!$ \begin{cases} \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \end{cases}:a,b,c,d\,\,∈\,\,\mathbb{R} !$} das matrizes quadradas de ordem 2 com elementos reais.

A operação de adição de números complexos que se utiliza aqui é a usual.

Dados !$ z_1=p+q\,i,z_2=r+s\,i\,∈\,\,\mathbb{C},\,sendo\,p,q,r,s\,∈\,\mathbb{R} !$, tem-se !$ z_1+z_2=(p+r)+(q+s)i. !$.

A operação de multiplicação matricial que se utiliza aqui é também a usual: dadas as matrizes A do tipo !$ m !$ !$ X !$ !$ p !$ (!$ m !$ linhas e p colunas) e B do tipo !$ p !$ !$ X !$ !$ r !$, a matriz produto C = A. B está bem definida, é do tipo !$ m !$ !$ X !$ !$ r !$ e tem-se

!$ c_{ij}=\sum_{k=1}^pa_{ik}\,b_{kj} !$

onde !$ i,j\,∈\,\mathbb{Z},1\le\,i\le\,m,1\le\,j\le\,r. !$

Diz-se que um conjunto não vazio A é fechado sob uma operação * !$ se\,x,y\,∈\,A\,⇒\,x\,* \,y\,∈\,A. !$

Por exemplo, o conjunto

!$ A= !${!$ n^2:n\,∈\,\mathbb{Z},n !$ > 0} = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, … } não é fechado sob a operação de adição, uma vez que 16 !$ ∈ !$ !$ A !$, 36 !$ ∈ !$ !$ A !$, mas 52 = 16 + 36 !$ ∉ !$ !$ A !$.

É correto afirmar que

Considere o desenvolvimento de Taylor em torno do ponto !$ z_0=0\,\,∈\,\,\mathbb{C} !$ da função f cuja expressão é

!$ f(z)=\dfrac{1}{(z-2)(z-5)} !$

Sendo !$ f(z)=c_0+c_1z+c_2z^2+c_3z^3 !$ + … a expansão em série, é correto afirmar que o desenvolvimento é válido para todo !$ z !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{C} !$ tal que |z| <

Uma cidade tem a população aproximada de 100.000 pessoas. Sabe-se que as alturas dessas pessoas têm uma distribuição normal com média 1,65 m e desvio padrão 8 cm. Essa tabela apresenta valores aproximados de !$ F_z(z_0)=P(Z\le\,z_0) !$, sendo Z uma variável aleatória com distribuição normal padronizada (ou seja, com média igual a zero e desvio padrão igual a um).

As melhores estimativas (aproximadas para centenas) para n₁, n₂ e n₃, sendo n₁ a quantidade de pessoas da cidade que têm altura de no mínimo 1,77 m, n₂ a quantidade de pessoas da cidade que têm altura de no máximo 1,73 m e n₃ a quantidade de pessoas da cidade que têm altura de no mínimo 1,49 m, são respectivamente

Uma variável aleatória discreta X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

!$ P(X=K)=a.k,\,\,se\,\,k\,\,∈\,\,J= !$ {1, 2, 3, 4, 5, … , 98, 99, 100}, em que !$ a !$ é uma constante (e, portanto, independente de !$ k\,\,∈\,\,J !$), !$ P(X=K) !$ = 0, se !$ k !$ !$ ∉ !$ !$ J !$.

Se necessário, utilize a fórmula a seguir, válida para todo n inteiro positivo:

!$ \sum_{j=1}^nj=\dfrac{n(n+1)}{2} !$

É correto afirmar que

Um produto notável bem conhecido é

!$ x^2-y^2=(x-y).(x+y). !$

Utilizando-se essa equação, é possível obter um resultado interessante.

!$ 1=(n+1)-n=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}).(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}) !$

Com relação à soma

!$ S=\sum_{n=1}^{399}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}= \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{399}+\sqrt{398}}+\dfrac{1}{\sqrt{400}+\sqrt{399}}, !$

é correto afirmar que

Sejam o conjunto !$ A= !$ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e a função !$ f !$: !$ \mathbb{Z} !$ → !$ A !$ definida por !$ f(x)=t !$, em que !$ t !$ é o resto da divisão de x por 7. Por exemplo, !$ f !$(100) = 2, já que o resto da divisão de 100 por 7 é igual a 2 (100 = 14 X 7 + 2).

Considerando os números !$ β_1 !$ = 1001, !$ β_2 !$ = 3¹⁰⁰ e !$ β^3 !$ = 1.000.000.000, é correto afirmar que !$ f(β_1),f(β_2) !$ e !$ f(β_3) !$ são, respectivamente, iguais a

Logaritmos aparecem frequentemente em ciências, como física e química, notadamente em situações em que grandezas apresentam uma grande variação (valor máximo bastante superior ao mínimo). Por exemplo, a escala Richter para medição da magnitude de um terremoto é uma escala logarítmica, assim como o pH, que mede a concentração de íons H⁺. Outras aplicações aparecem no estudo da desintegração radioativa, e no uso da técnica de carbono 14 para a datação de cadáveres.

A definição de logaritmo é !$ log_ba=x\Longleftrightarrow\,b^x=a !$. Desta forma, tem-se, por exemplo,

log₂ 4096 = 12, log₈ 4096 = 4 e log₃ 81 = 4, uma vez que

212 = 4096, 8⁴ = 4096 e 3⁴ = 81.

Se x satisfaz a equação !$ log_2x+log_4x+log_8x=\dfrac{22}{3} !$, então o valor de !$ x !$ é igual a