Uma função !$ f !$: !$ \mathbb{C} !$ → !$ \mathbb{C} !$ é inteira se for analítica em todo !$ z_0 !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{C} !$.

A analiticidade de uma função de variável complexa pode ser verificada por meio das equações de Cauchy-Riemann. Sendo !$ z=x+y\,i !$, com !$ x,y !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R} !$, qual das seguintes funções é inteira?

Considere a seguinte matriz quadrada de ordem 3:

!$ A=\begin{bmatrix} 1&0&0\\2&2&3\\0&5&10 \end{bmatrix}∈\,M_3(\mathbb{R}). !$

O traço de uma matriz quadrada !$ X !$ é a soma dos elementos da diagonal principal. O traço de !$ X !$ será denotado por !$ tr !$!$ (X) !$. Então,

!$ tr(X)=\sum_{j=1}^nx_{jj}. !$

Usando a notação !$ Y^t !$ para designar a transposta de uma matriz Y, é possível escrever A = B + C, sendo B uma matriz simétrica (ou seja, !$ B^t=B !$) e C uma matriz antissimétrica (isto é, !$ C^t=-C !$). Para encontrar B e C, sugere-se escrever !$ A^t !$ em função de B e C, obtendo-se um “sistema de equações” para B e C em termos de !$ A !$ e !$ A^t !$ É correto afirmar que

Considere a transformação linear !$ T !$: !$ \mathbb{R}^3 !$ → !$ \mathbb{R}^3 !$cuja expressão é !$ T(x,y,z)=(3x-y-3z,2y-3z,-z) !$. É correto afirmar que

Considere a curva parametrizada diferenciável !$ a !$: !$ \mathbb{R} !$ → !$ \mathbb{R}^2 !$ cuja expressão é !$ a(t)=(t,cosh\,t),t !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R} !$.

A função cosseno hiperbólico é definida por

!$ cosh\,t=\dfrac{e^t+e^{-t}}{2} !$

O comprimento de arco da curva !$ a !$, de!$ t=t_0=0 !$ até !$ t=t_1=5 !$, é igual a

Considere o número complexo !$ z=e^{iθ} !$, em que 0 < !$ θ !$ < !$ π !$/2, tal que

!$ Re(z)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} !$

Foi empregada a notação !$ Re(z) !$ para indicar a parte real de um número complexo z, ou seja, !$ Re(a+βi)=a !$ ∀!$ a !$, !$ β !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R} !$.

O valor de!$ z^{249} !$ é

Uma curva parametrizada diferenciável !$ a !$: !$ I !$ !$ ⊂ !$ !$ \mathbb{R} !$ → !$ \mathbb{R}^2 !$ definida em um intervalo !$ I !$ é regular se !$ a !$'(!$ t !$) !$ \neq !$ (0,0) ∀!$ t !$ !$ ∈ !$ !$ I !$.

É correto afirmar que

Variáveis complexas encontram aplicações em diversas áreas do conhecimento, como, por exemplo, na física (mecânica dos fluidos, eletromagnetismo, entre outras), em engenharia e em eletrônica.

Considere o polinômio de quinto grau !$ P !$: !$ \mathbb{C} !$ → !$ \mathbb{C} !$ dado por !$ P(z)=z^5-8z^4+36z^3-86z^2+115z-78. !$. Sabe-se que !$ z_1=2\,e\,z_2=2+3i !$ são raízes de !$ P !$ (onde !$ i !$ denota a unidade imaginária). Observe que todos os coeficientes de !$ P !$ são números reais. É correto afirmar que as demais raízes são iguais a

Considere o conjunto !$ M_2(\mathbb{R})= !${!$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} !$ : !$ a !$,!$ b !$,!$ c !$,!$ d !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R} !$} das matrizes quadradas de ordem dois com entradas reais.

Seja a função !$ g:M_2(\mathbb{R}) !$ → !$ \mathbb{R} !$ assim definida:

!$ g(\begin{vmatrix} x & y \\ z & w \end{vmatrix})=x+y+z+w. !$

Considere também a seguinte matriz em !$ M_2(\mathbb{R} ) !$: A = !$ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} !$. Denotando por !$ X.Y !$ a multiplicação padrão de duas matrizes !$ X !$ e !$ Y !$ em !$ M_2(\mathbb{R} !$, sendo !$ A^2 !$ = !$ A !$. !$ A !$ e, mais geralmente, !$ A^{k+1} !$ = !$ A^k !$.!$ A !$ em que !$ k !$ é um inteiro positivo, é correto afirmar que

Considere a função !$ f !$: !$ \mathbb{R} !$ → !$ \mathbb{R} !$ dada por !$ f(x)=2x+3 !$. Considere também a sequência de funções !$ (g_n)_{n∈\mathbb{N}} !$, em que !$ \mathbb{N}= !$ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} assim definida:

!$ g_1(x)= !$ !$ f(x) !$ ∀!$ x !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R} !$ e

!$ g_{k+1}(x)= !$ !$ (g_k(x)) !$ ∀!$ x !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R} !$

para todo !$ k !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{N} !$. É correto afirmar que

Uma equação diferencial ordinária do tipo !$ y"(t)+f(t)y'(t)+g(t)y(t)=h(t) !$, com a função !$ h !$ não identicamente nula no intervalo em que se busca a solução, é conhecida como uma equação de