Uma aplicação interessante dos chamados polinômios de Taylor ocorre na aproximação de valores de funções. O polinômio de Taylor de grau !$ n !$ de uma função !$ f !$ é

!$ P_n(x)=f(a)+\sum_{j=1}\dfrac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j !$

O intuito é aproximar !$ f(x) !$ por !$ P_n(x) !$.

Utilizando polinômios de Taylor de primeiro e de segundo graus para se obter aproximações de !$ \sqrt{108} !$, com !$ f(x)= !$ !$ \sqrt{x} !$, !$ a= !$ 100, !$ x !$ = 108, são obtidos os seguintes valores, respectivamente:

Um problema corriqueiro em ciências exatas é a chamada interpolação polinomial. Trata-se do seguinte: dados k pontos !$ (x_1,y_1) !$, !$ (x_2,y_2) !$, … . , !$ (x_k,y_k) !$, encontrar um polinômio p tal que !$ p(x_1)=y_1,p(x_2)=y_2 !$, … . , !$ p(x_k)=y_k !$.

Duas maneiras conhecidas de se fazer isso são a forma de Lagrange e a forma de Newton. Mas pode ser solucionado também por meio de sistema de equações lineares.

Qual é o polinômio p de menor grau possível que interpola os pontos (-1,16), (0,10) e (3,4), ou seja, tal que !$ p(-1)=16,p(0)=10,p(3)=4? !$

Considere !$ φ !$: !$ \mathbb{R} !$ → !$ \mathbb{R} !$ a solução da equação diferencial y" - 5y' + 6y = 0 tal que !$ φ !$(0)= 3 e !$ φ !$'(0) = 8. Com base nessas informações, é correto afirmar que !$ φ !$(1) é igual a

Equações diferenciais são encontradas frequentemente em diversas áreas do conhecimento, como, por exemplo, na Física. Elas modelam o movimento de fluidos, o fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, dentre outros.

Seja !$ φ !$: !$ \mathbb{R} !$ → !$ \mathbb{R} !$ a solução da equação diferencial y' - 2y = 0 que satisfaz a condição !$ φ !$(0) = 5. Utilizando !$ ln(x) !$ para indicar o logaritmo natural de um número real positivo x, é correto afirmar que

Um indivíduo joga um dardo contra um alvo com o objetivo de acertar o centro, ou errar por no máximo 2 cm. Ele tem a probabilidade 0,1 de conseguir seu objetivo. Caso ele erre, continua tentando até que obtenha êxito pela primeira vez e encerre o experimento.

Seja !$ X !$ a variável aleatória que denota a quantidade de lançamentos efetuados. Por exemplo, se !$ X=4 !$, isso significa que ele errou os três primeiros lançamentos e acertou o quarto.

Admita que os lançamentos são independentes e que a probabilidade de sucesso (10%) é sempre a mesma. O menor valor inteiro positivo k de forma que !$ P(X=k) !$ < 0,08 é

Considere uma sequência de números reais !$ a_1 !$, !$ a_2 !$, !$ a_3 !$, !$ a_4 !$, !$ a_5 !$ …. que estão em progressão geométrica, ou seja, existe uma constante q tal que !$ a_{j+1}=q.a_j !$ para todo inteiro positivo j. Sabe-se que !$ a_3= !$ 6 e que !$ a_5= !$ 12. Denotando por !$ S_n !$ a soma dos n primeiros termos da sequência (sendo n qualquer inteiro positivo), ou seja,

!$ S_n=\sum_{j=1}^n a_j, !$

Com base nesses dados, é correto afirmar que

Uma variável aleatória discreta X tem a seguinte distribuição de probabilidades: para !$ k !$ !$ ∈ !$ !$ L !$ !$ = !$ {1,2,3,4,5,6},

!$ P(X=k)=λ.\begin{pmatrix}k^2+\dfrac{3}{2}\end{pmatrix} !$

onde !$ λ !$ !$ ∈ !$ !$ \mathbb{R} !$ é uma constante (portanto, independente de k). Ademais, !$ P(X=k)= !$ 0 se !$ k !$ !$ ∉ !$ !$ L !$. Sendo assim, é correto afirmar que a probabilidade de !$ X !$ assumir um valor

Uma escola de línguas oferece aulas de inglês, de espanhol e de francês. Cada aluno da escola estuda pelo menos uma das línguas. Sabe-se que 30 alunos estudam apenas inglês, 25, apenas espanhol e 20 estudam apenas francês. Sabe-se também que 21 alunos estudam inglês e espanhol, 17, inglês e francês e 12 estudam espanhol e francês. Por fim, 7 alunos estudam as três línguas. A quantidade de alunos da escola que estudam inglês e não estudam espanhol é igual a

Para esse enunciado, !$ y !$’ e !$ y !$’’ representam, respectivamente, as derivadas de primeira e de segunda ordem de !$ y !$ em relação a !$ x !$. Com relação às equações diferenciais ordinárias, assinale a alternativa correta.

Assinale a alternativa correspondente à criação de contextos significativos de aprendizagem com o uso da história da matemática.