Seja C o trecho da parábola y²=4x que vai de x = 3 a x = 15. Calcule !$ \int_C y \ ds !$, nesse trecho.

Sabendo que !$ \vec F (x, y) = (2y^2 + 2xe^y)\hat i + (x^z e^y + 4xy + 1)\hat j !$ é um campo vetorial conservativo, podemos afirmar que a !$ \int_C \vec F ⋅ d\vec r !$ , onde C é a curva parametrizada por !$ \vec r(t) = (t + sen(\pi t), t - cos (\pi t)) !$ vale:

A porta de um bar possui uma dobradiça de tal modo que ela permita sua abertura tanto para dentro, quanto para fora do ambiente. Um dos frequentadores do bar é um matemático bastante conceituado. Em uma de suas visitas ao bar, ele formulou que o movimento desta porta é descrito pela equação diferencial !$ \ddot y + 3 \dot y +2 = 0 !$. Sabendo que inicialmente a porta encontra-se em 0,2 metros afastada em relação à posição de equilíbrio e parada. Pode-se afirmar que a solução da equação do movimento é dada por:

A figura a seguir ilustra o diagrama de Venn de quatro conjuntos A, B, C e D, onde é possível observar as intersecções desses conjuntos. Escolhendo aleatoriamente um elemento que pertence à interseção dos conjuntos B e C, a probabilidade de que este elemento não pertença ao conjunto A é de:

Calcule !$ \oint_C - y^2 dx + 4xy \ dy !$ onde C é a curva formada pelos segmentos de reta de (1,0) a (0,1), de (0,1) a (0,2), de (0,2) a (2,0) e de (2,0) a (1,0).